Поиск  Пользователи  Правила 
Закрыть
Логин:
Пароль:
Забыли свой пароль?
Регистрация
Войти
 
Страницы: 1
RSS
Вычисление обратного преобразования Фурье
 
Добрый день! Поставлена такая задача: есть гауссов сигнал, заданный аналитически формулой
А = А0 * exp(-(t^2) / (2 * T^2)), где расчетный интервал t = 1:512 сек, амплитуда А0 = 1, характерное время T = 60 сек
Для данного сигнала нужно вычислить БПФ и построить график в осях амплитуда/частота.
Из темы Анализ Фурье есть подсказка:

Цитата
ZVI написал:
Частота 1-й гармоники в спектре F1=1/(N*dt) где N-количество выборок, dt – интервал времени между соседними выборками. Соответственно, частота 2-й гармоники F2=2*F1, 3-й гармоники F3 = 3*F1 и т.д.
Я так понимаю, что в моем случае N=512, dt=1. Амплитуда рассчитана по формуле: 2*(модуль комплексного числа-результат БПФ)/512
Верно ли это? В приложенном файле fft_gauss.xlsx есть все расчеты. Результат БПФ взят до 256 точки. Согласно теории, из гаусс-сигнала, должен получиться гаусс-спектр. Но в моем случае полученный спектр можно назвать гауссовым с натяжкой...

Следующая часть моей задачи посвящена обратному преобразованию. Т.е. теперь, зная только амплитуду и частоты (если я их конечно правильно вычислил) и не имея комплексного представления результатов расчета БПФ для полученного гаусс-спектра нужно получить исходный гауссов сигнал, заданный в начале. Как это можно сделать средствами Excel? Заранее благодарен за помощь в решении!
 
Доброе время суток
Так как то будет, хотя закономерность не очень удачная, чтобы её интерполировать рядом Фурье. С учётом, что у вас число значений степень двойки - может вам имеет смысл присмотреться к быстрому преобразованию Фурье?
 
Добрый день.

1. Так как форум все же по Excel, то сначала прокомментирую то, что к Excel относится.
Первое значение результата дискретного (в данном случае - быстрого) преобразования Фурье в Excel – это всегда значение без мнимой части постоянной составляющей спектра, а в  ячейках ниже следуют комплексные значения 1-й гармоники, 2-й гармоники и т.д. Об этом подробно было в сообщении #9 темы Анализ Фурье.
У Вас же к постоянной составляющей результата анализа Фурье J2 оказалась привязана 1-я гармоника, что некорректно.
По поводу амплитуды, если речь не идет о нормировании, то модуль комплексного числа - это длина вектора, т.е. амплитуда в данном случае.
Учтите, что размерность частоты F приведена в Герцах, если нужна циклическая частота, то w = 2*ПИ()*F

2. Второй Ваш вопрос скорее нужно адресовать к теории анализа сигналов, чем непосредственно к Excel.
Если бы Вы сформулировали принцип и теоретические формулы решения, то реализовать их в Excel вряд ли было бы сложно.
Как я ранее сообщал, для обратного преобразования в общем случае нужны либо комплексные значения, либо амплитуды и фазы спектра. Но попробуйте  воспользоваться тем, что гауссов импульс и его спектр выражаются одинаковыми формулами и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на w и пересчитать коэффициенты (см. учебники). Или, если чисто средствами Excel, то посмотреть в сторону средства 'Поиск решения' - подогнать коэффициенты формулы сигнала под требуемый спектр.
Изменено: ZVI - 19 Апр 2015 05:55:50
Vladimir Zakharov
Microsoft MVP – Office Apps & Services
 
Спасибо за ответ Андрей VG! Разбирался с Вашим прикрепленным файлом. Как я понял там выполнено обратное преобразование Фурье и показан на графике результат как y'? Верно? Тогда мне не совсем понятно что такое А'?
Изменено: Student52 - 19 Апр 2015 13:59:55
 
Спасибо за подробный ответ ZVI ! По первому вопросу: как я понял, первое число в получаемом ряду не имеет отношения к спектру? Спектр (или график спектра) должны быть взяты со второй точки? Тогда сразу второй вопрос: при вычислении обратного преобразования Фурье первое значение (постоянную составляющую) нужно учитывать или нет? В теории БПФ и ОПФ описаны тремя формулами:

где X(k) результат БПФ, x(j) результат ОПФ. Получается, что постоянная составляющая результата анализа Фурье взята при k,j=0?
Изменено: Student52 - 19 Апр 2015 14:01:11
 
Цитата
Student52 написал: Фурье и показан на графике результат как y'? Верно? Тогда мне не совсем понятно что такое А'?
Да y' это обратное преобразование для первых 20 гармоник + постоянная составляющая.
A' это А без постоянной составляющей (среднего или 0-ой гармоники), необходимо для расчётов параметров гармоник её исключить.
По вашим данным. Можете воспользоваться той же методикой, для расчёта, что и у меня в файле. Реальная часть комплексного числа - это косинусная составляющая Am, мнимая - синусная составляющая Bm. Первое число - постоянная составляющая - 0-ая гармоника.
Примечание - определитесь с периодом, как минимум в два раза больше чем число частотных гармоник.
Успехов.
 
Цитата
Student52 написал:
1. Первое число в получаемом ряду не имеет отношения к спектру?
2. Спектр (или график спектра) должны быть взяты со второй точки?
3. При вычислении обратного преобразования Фурье первое значение (постоянную составляющую) нужно учитывать или нет?
Ответы: 1-Имеет; 2-Нет, все значения относятся к спектру; 3-Нужно учитывать.
Все значения БПФ должны учитываться, включая постоянную составляющую, и в график спектра я же включил всё, или Вы меня уговариваете поменять мнение? ;) Постоянная составляющая - это та же гармоника, но для нулевой частоты, в ее значении просто нет мнимой части. Несмотря на то, что определения в разных источниках могут отличаться, но смысл и свойства преобразования Фурье не меняются. Да и Ваших формулах при j=1 циклическая частота w(j-1) = w(0) это и есть нулевая частота, т.е. постоянная составляющая.
На всякий случай несколько первых попавшихся ссылок по теме в Википедии:
1. Представление сигнала и спектр - Физический смысл спектральной функции: сигнал  представляется в виде суммы бесконечного ряда гармонических составляющих (синусоид) с амплитудами ... , непрерывно заполняющими интервал частот от нуля до бесконечности, и начальными фазами ...
2. Спектр сигнала, математическое представление, про учет не только амплитуд, но и фаз:
Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: S(w)=A(w)*exp^(-i*ф(w)), где  A(w) - амплитудно-частотная характеристика сигнала,  ф(w)— фазо-частотная характеристика сигнала.
3. Дискретное преобразование Фурье - обратите внимание на нулевые индексы в формулах преобразования и учет не только амплитуд и частот, но и фаз.
Изменено: ZVI - 20 Апр 2015 02:56:31
Vladimir Zakharov
Microsoft MVP – Office Apps & Services
 
Доброе время суток
Владимир, может студент, как я забыл, или не знает - как разворачивается комплексное представление в расчётное. На расчётные бы ссылочки, что то в инете о том как считать информации почти и нет:(
 
Добрый день/ночь, Андрей.
Как пользоваться прямым и обратным преобразованиями Фурье в надстройке 'Пакет Анализа" Excel, есть, например, здесь:
Надстройка Пакет анализа, см. параграф 5.19. Анализ Фурье.
Или речь о чем-то другом?
Изменено: ZVI - 20 Апр 2015 01:58:20
Vladimir Zakharov
Microsoft MVP – Office Apps & Services
 
Приложил пример из предыдущей темы, дополненный обратным преобразованием Фурье из амплитуд и фаз спектра.
1. Для прямого (быстрого) преобразования Фурье (ППФ):
исходные данные B2:B17, результат - в C2:C17, амплитуды и фаза результата рассчитаны формулами в D2:E17
2. Для обратного (быстрого) преобразования Фурье (ОПФ):
данные в C2:C17 использованы для преобразование формулами в комплексные числа F2:H17.
Затем по комплексным числам в H2:H17 посчитано ОПФ с (текстовым) результатом в I2:I17 и числовым округленным результатом в J2:J17. Из сравнения в K2:K17 видно, что результат ОПФ совпал с исходными данными, так как в спектр в данном случае не вносились изменения.
В примере предполагается, что в качестве разделителя целой и дробной части использована запятая, это важно учитывать, так как комплексные числа в Excel записываются в текстовом виде.
Изменено: ZVI - 20 Апр 2015 04:38:46 (Исправлена формула для амплитуд)
Vladimir Zakharov
Microsoft MVP – Office Apps & Services
 
Владимир, спасибо большое. У меня утро, как и у Карена - одна республика;)
Я всё же имел ввиду расчётные формулы. Тут в файле использовал, но то ли вспомнилось и нашлось или нет, хотелось бы проверить. Прогоню для сравнения по пакету анализа.
Ещё раз спасибо.
 
Андрей, быстрое преобразование Фурье формулами реализовать проблематично, обычно это делают кодом.
P.S. Подправил в предыдущем сообщении во вложении формулу расчета амплитуд
Vladimir Zakharov
Microsoft MVP – Office Apps & Services
 
Подтверждаю. К сожалению, у нас утро. А хотелось бы продолжительности ночи с воскресения на понедельник 24 часа.:cry:
 
Владимир, большое спасибо.
 
Благодарю участников обсуждения за полезные ссылки и предоставленные примеры! Сейчас на меня свалилось столько информации, нужно время чтобы всё переварить...
 
Добрый день! С обратным преобразованием разобрался! Большое спасибо за помощь! Но сейчас у меня другая проблема: при попытке вычисления спектра для функции Гаусса аналитически и с помощью "Пакета анализа" наблюдается несовпадение результатов. Файл во вложении демонстрирует мой расчет. Где я ошибся не могу понять... Посоветуйте пожалуйста решение (или объяснение такого несовпадения?). Надеюсь на ваши знания и опыт. Спасибо!
Страницы: 1
Читают тему (гостей: 1)