Добрый день! Поставлена такая задача: есть гауссов сигнал, заданный аналитически формулой А = А0 * exp(-(t^2) / (2 * T^2)), где расчетный интервал t = 1:512 сек, амплитуда А0 = 1, характерное время T = 60 сек Для данного сигнала нужно вычислить БПФ и построить график в осях амплитуда/частота. Из темы Анализ Фурье есть подсказка:
Цитата
ZVI написал: Частота 1-й гармоники в спектре F1=1/(N*dt) где N-количество выборок, dt – интервал времени между соседними выборками. Соответственно, частота 2-й гармоники F2=2*F1, 3-й гармоники F3 = 3*F1 и т.д.
Я так понимаю, что в моем случае N=512, dt=1. Амплитуда рассчитана по формуле: 2*(модуль комплексного числа-результат БПФ)/512 Верно ли это? В приложенном файле fft_gauss.xlsx есть все расчеты. Результат БПФ взят до 256 точки. Согласно теории, из гаусс-сигнала, должен получиться гаусс-спектр. Но в моем случае полученный спектр можно назвать гауссовым с натяжкой...
Следующая часть моей задачи посвящена обратному преобразованию. Т.е. теперь, зная только амплитуду и частоты (если я их конечно правильно вычислил) и не имея комплексного представления результатов расчета БПФ для полученного гаусс-спектра нужно получить исходный гауссов сигнал, заданный в начале. Как это можно сделать средствами Excel? Заранее благодарен за помощь в решении!
Доброе время суток Так как то будет, хотя закономерность не очень удачная, чтобы её интерполировать рядом Фурье. С учётом, что у вас число значений степень двойки - может вам имеет смысл присмотреться к быстрому преобразованию Фурье?
1. Так как форум все же по Excel, то сначала прокомментирую то, что к Excel относится. Первое значение результата дискретного (в данном случае - быстрого) преобразования Фурье в Excel – это всегда значение без мнимой части постоянной составляющей спектра, а в ячейках ниже следуют комплексные значения 1-й гармоники, 2-й гармоники и т.д. Об этом подробно было в сообщении #9 темы Анализ Фурье. У Вас же к постоянной составляющей результата анализа Фурье J2 оказалась привязана 1-я гармоника, что некорректно. По поводу амплитуды, если речь не идет о нормировании, то модуль комплексного числа - это длина вектора, т.е. амплитуда в данном случае. Учтите, что размерность частоты F приведена в Герцах, если нужна циклическая частота, то w = 2*ПИ()*F
2. Второй Ваш вопрос скорее нужно адресовать к теории анализа сигналов, чем непосредственно к Excel. Если бы Вы сформулировали принцип и теоретические формулы решения, то реализовать их в Excel вряд ли было бы сложно. Как я ранее сообщал, для обратного преобразования в общем случае нужны либо комплексные значения, либо амплитуды и фазы спектра. Но попробуйте воспользоваться тем, что гауссов импульс и его спектр выражаются одинаковыми формулами и обладают свойством симметрии: для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t на w и пересчитать коэффициенты (см. учебники). Или, если чисто средствами Excel, то посмотреть в сторону средства 'Поиск решения' - подогнать коэффициенты формулы сигнала под требуемый спектр.
Спасибо за ответ Андрей VG! Разбирался с Вашим прикрепленным файлом. Как я понял там выполнено обратное преобразование Фурье и показан на графике результат как y'? Верно? Тогда мне не совсем понятно что такое А'?
Спасибо за подробный ответ ZVI! По первому вопросу: как я понял, первое число в получаемом ряду не имеет отношения к спектру? Спектр (или график спектра) должны быть взяты со второй точки? Тогда сразу второй вопрос: при вычислении обратного преобразования Фурье первое значение (постоянную составляющую) нужно учитывать или нет? В теории БПФ и ОПФ описаны тремя формулами:
где X(k) результат БПФ, x(j) результат ОПФ. Получается, что постоянная составляющая результата анализа Фурье взята при k,j=0?
Student52 написал: Фурье и показан на графике результат как y'? Верно? Тогда мне не совсем понятно что такое А'?
Да y' это обратное преобразование для первых 20 гармоник + постоянная составляющая. A' это А без постоянной составляющей (среднего или 0-ой гармоники), необходимо для расчётов параметров гармоник её исключить. По вашим данным. Можете воспользоваться той же методикой, для расчёта, что и у меня в файле. Реальная часть комплексного числа - это косинусная составляющая Am, мнимая - синусная составляющая Bm. Первое число - постоянная составляющая - 0-ая гармоника. Примечание - определитесь с периодом, как минимум в два раза больше чем число частотных гармоник. Успехов.
Student52 написал: 1. Первое число в получаемом ряду не имеет отношения к спектру? 2. Спектр (или график спектра) должны быть взяты со второй точки? 3. При вычислении обратного преобразования Фурье первое значение (постоянную составляющую) нужно учитывать или нет?
Ответы: 1-Имеет; 2-Нет, все значения относятся к спектру; 3-Нужно учитывать. Все значения БПФ должны учитываться, включая постоянную составляющую, и в график спектра я же включил всё, или Вы меня уговариваете поменять мнение? Постоянная составляющая - это та же гармоника, но для нулевой частоты, в ее значении просто нет мнимой части. Несмотря на то, что определения в разных источниках могут отличаться, но смысл и свойства преобразования Фурье не меняются. Да и Ваших формулах при j=1 циклическая частота w(j-1) = w(0) это и есть нулевая частота, т.е. постоянная составляющая. На всякий случай несколько первых попавшихся ссылок по теме в Википедии: 1. Представление сигнала и спектр - Физический смысл спектральной функции: сигнал представляется в виде суммы бесконечного ряда гармонических составляющих (синусоид) с амплитудами ... , непрерывно заполняющими интервал частот от нуля до бесконечности, и начальными фазами ... 2. Спектр сигнала, математическое представление, про учет не только амплитуд, но и фаз: Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: S(w)=A(w)*exp^(-i*ф(w)), где A(w) - амплитудно-частотная характеристика сигнала, ф(w)— фазо-частотная характеристика сигнала. 3. Дискретное преобразование Фурье - обратите внимание на нулевые индексы в формулах преобразования и учет не только амплитуд и частот, но и фаз.
Доброе время суток Владимир, может студент, как я забыл, или не знает - как разворачивается комплексное представление в расчётное. На расчётные бы ссылочки, что то в инете о том как считать информации почти и нет:(
Добрый день/ночь, Андрей. Как пользоваться прямым и обратным преобразованиями Фурье в надстройке 'Пакет Анализа" Excel, есть, например, здесь: Надстройка Пакет анализа, см. параграф 5.19. Анализ Фурье. Или речь о чем-то другом?
Приложил пример из предыдущей темы, дополненный обратным преобразованием Фурье из амплитуд и фаз спектра. 1. Для прямого (быстрого) преобразования Фурье (ППФ): исходные данные B2:B17, результат - в C2:C17, амплитуды и фаза результата рассчитаны формулами в D2:E17 2. Для обратного (быстрого) преобразования Фурье (ОПФ): данные в C2:C17 использованы для преобразование формулами в комплексные числа F2:H17. Затем по комплексным числам в H2:H17 посчитано ОПФ с (текстовым) результатом в I2:I17 и числовым округленным результатом в J2:J17. Из сравнения в K2:K17 видно, что результат ОПФ совпал с исходными данными, так как в спектр в данном случае не вносились изменения. В примере предполагается, что в качестве разделителя целой и дробной части использована запятая, это важно учитывать, так как комплексные числа в Excel записываются в текстовом виде.
Владимир, спасибо большое. У меня утро, как и у Карена - одна республика;) Я всё же имел ввиду расчётные формулы. Тут в файле использовал, но то ли вспомнилось и нашлось или нет, хотелось бы проверить. Прогоню для сравнения по пакету анализа. Ещё раз спасибо.
Андрей, быстрое преобразование Фурье формулами реализовать проблематично, обычно это делают кодом. P.S. Подправил в предыдущем сообщении во вложении формулу расчета амплитуд
Благодарю участников обсуждения за полезные ссылки и предоставленные примеры! Сейчас на меня свалилось столько информации, нужно время чтобы всё переварить...
Добрый день! С обратным преобразованием разобрался! Большое спасибо за помощь! Но сейчас у меня другая проблема: при попытке вычисления спектра для функции Гаусса аналитически и с помощью "Пакета анализа" наблюдается несовпадение результатов. Файл во вложении демонстрирует мой расчет. Где я ошибся не могу понять... Посоветуйте пожалуйста решение (или объяснение такого несовпадения?). Надеюсь на ваши знания и опыт. Спасибо!
ZVI написал: Затем по комплексным числам в H2:H17 посчитано ОПФ с (текстовым) результатом в I2:I17 и числовым округленным результатом в J2:J17. Из сравнения в K2:K17 видно, что результат ОПФ совпал с исходными данными, так как в спектр в данном случае не вносились изменения.
Пересчитывал Ваш пример, но у меня не сходятся данные. В М2:17 расчет. Подскажите, как вы считали. Спасибо